Question

设α，β为锐角，且（1+sinα-cosα）（1+sinβ-cosβ）=2sinαsinβ，则α+β=

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的正切公式求得tan（α+β）=1，结合α，β为锐角，可得α+β 的值．

解答： 解：∵

1+sinα-cosα

sinα

=

sinα+2sin2 α 2

sinα

=1+tan

α

2

，同理可得

1+sinβ-cosβ

sinβ

=1+tan

β

2

，
∴由（1+sinα-cosα）（1+sinβ-cosβ）=2sinαsinβ 可得

1+sinα-cosα

sinα

•

1+sinβ-cosβ

sinβ

=2，
∴（1+tan

α

2

 ）（1+tan

β

2

）=1+tan

α

2

+tan

β

2

+tan

α

2

tan

β

2

=2，
tan

α

2

+tan

β

2

=1-tan

α

2

tan

β

2

，故tan

α+β

2

=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，
∴

α+β

2

=

π

4

，α+β=

π

2

故答案为：

π

2

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正切公式，属于基础题．