Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以棱长都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，则A₁C的长

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据所有棱长都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足，则O在∠BAD的角平分线，即AC上，从而在三角形ABC中，可求AC长，然后利用余弦定理求之．

解答： 解：过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足．
∵∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，所有棱长都等于1
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁
∴cos∠OAA₁=

1

2

×

2

3

=

3

3

…（5分）
连A₁C₁则AA₁C₁C为平行四边形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

…..（6分）
在三角形ABC中，AC²=AB²+CB²-2AB•CBcos∠ABC=3…（8分）
∴A1C2=AA12+AC2-2×AA1×AC×

3

3

=1+3-2=2，
∴A₁C=

2

；
故答案为：

2

．

点评：本题以平行六面体为载体，考查余弦定理，关键是利用条件所以棱长都等于1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=

π

3

，进行合理转化．