Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，并且对于任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$．
（1）证明数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=a_n．a_n+1，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，两边取倒数，转化为等差数列，即可得出．
（2）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）$\frac{1}{a_1}=1$，∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=2$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为2的等差数列，
∴$\frac{1}{a_n}=2n-1$，从而a_n=2n-1．
（2）∵${a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．