Question

【题目】已知椭圆C：1左右焦点为F1，F2直线（1）xy0与该椭圆有一个公共点在y轴上，另一个公共点的坐标为（m，1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上任一点，过焦点F1，F2的弦分别为PM，PN，设λ1λ2，求λ1+λ2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）10

【解析】

(1)由直线过点,可得,又点,在椭圆上,可求得,的值,从而得出椭圆方程;

(2)设出,,,,,,由在椭圆上,则有x02+3y02=6,又根据,,可求出的坐标,再把,代入,进而可求的值.

(1)∵直线(1)xy0与y轴交点为(0,),

∴,

又∵直线(1)xy0与椭圆有公共点(m,1).

∴点(,1)在椭圆上,

∴,

∴a2=6,

∴椭圆C的方程为:;

(2)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

则有x02+3y02=6,

根据λ1λ2,

可得M(2,),N(2,),

把M,N代入x02+3y02=6,

可得,

∴λ1+λ2=10.