Question

12．判断并证明函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$（a＞0，a≠1）的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的定义域为（-1，1），求f′（x），讨论0＜a＜1，和a＞1两种情况，并判断每种情况下f′（x）的符号，从而判断出f（x）的单调性．

解答 解：函数f（x）的定义域为（-1，1）；
f′（x）=$\frac{2}{（{x}^{2}-1）lna}$；
∵x∈（-1，1）；
∴x²-1＜0；
∴①若0＜a＜1，lna＜0，则f′（x）＞0；
∴f（x）在（-1，1）上单调递增；
②若a＞1，lna＞0，则f′（x）＜0；
∴f（x）在（-1，1）上单调递减．

点评 考查对数中真数的取值情况，解分式不等式，复合函数的求导，以及对数函数的单调性，清楚需讨论0＜a＜1和a＞1两种情况，函数导数符号和函数单调性的关系，并注意正确求导．