Question

5．设M是△ABC边BC上的任意一点，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，若$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$，根据向量的加减的几何意义，表示出$\overrightarrow{AN}$，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BC}$（0≤t≤1），$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，
所以$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$t$\overrightarrow{AC}$，
因为$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，
所以λ+μ=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$t+$\frac{1}{4}$t=$\frac{1}{4}$，
故选：A

点评 本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来．属中档题．