Question

2．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方体中心，N是棱A₁B₁上一点，P为正方体的表面动点，若满足OP⊥BN的P点轨迹为曲线E，则当N在棱A₁B₁上运动时，曲线E周长的取值范围是$[{4，2+2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 根据正方体的几何特征，结合已知条件，分析出曲线E周长的最值，进而可得答案．

解答 解：当N点与A₁点重合时，
曲线E围成的区域为正方体对角边，如右图所示：
此时曲线E周长的取最大值：2+2$\sqrt{2}$；
当N点与B₁点重合时，
曲线E围成的区域为与正方体底面平行的正方形，
如下图所示：
此时曲线E周长的取最小值：4；
故曲线E周长的取值范围是：$[{4，2+2\sqrt{2}}]$，
故答案为：$[{4，2+2\sqrt{2}}]$

点评 本题考查的知识点是最值及其几何意义，正方体的几何特征，数形结合思想，难度中档．