Question

9．如图所示，已知底面ABCD是正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，C₁C=C₁D，且∠C₁CB=C₁CD，线段AC与BD的交点为O．
（1）求证：C₁O⊥平面ABCD；
（2）若C₁O=CO，设点E在线段AD上，且满足$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{ED}$，当λ为何值时，二面角D₁-OE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$？

Answer 1

分析 （1）由△C₁CB≌C₁CD，得C₁B=C₁D，即可得C₁O⊥DB；由△C₁OC≌△C₁OD可得C₁O⊥OC，即可证得⊥平面ABCD；
（2）如图以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．设底面ABCD的边长为2，则${C}_{1}O=CO=DO=AO=BO=\sqrt{2}$，可得O（0，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，-$\sqrt{2}$，0），C₁（0，0，$\sqrt{2}$）由$\overrightarrow{C{C}_{1}}=\overrightarrow{D{D}_{1}}$，得${D}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．∴$\overrightarrow{O{D}_{1}}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$，设$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{2}k，-\sqrt{2}k，0）$，（k∈[0，1]），则$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AE}$=$（\sqrt{2}k，\sqrt{2}-\sqrt{2}k，0）$求出面OED₁的法向量$\overrightarrow{m}=（k-1，k，1-2k）$，可得面OEA的法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$，由二面角D₁-OE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，解得k=$\frac{1}{3}$，或k=$\frac{2}{3}$，即可．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{1}C={C}_{1}C}\\{∠{C}_{1}CB=∠{C}_{1}CD}\\{CD=CB}\end{array}\right.$∴△C₁CB≌△C₁CD，∴C₁B=C₁D
∵底面ABCD是正方形，线段AC与BD的交点为O，∴C₁O⊥DB
∵$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{1}O={C}_{1}O}\\{{C}_{1}C={C}_{1}D}\\{OC=OD}\end{array}\right.$∴△C₁OC≌△C₁OD，$∠{C}_{1}OD=∠{C}_{1}OC=9{0}^{0}$，即C₁O⊥OC
且OC∩OD=O，∴C₁O⊥平面ABCD．

（2）如图以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设底面ABCD的边长为2，则${C}_{1}O=CO=DO=AO=BO=\sqrt{2}$，
可得O（0，0，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，-$\sqrt{2}$，0），C₁（0，0，$\sqrt{2}$）
由$\overrightarrow{C{C}_{1}}=\overrightarrow{D{D}_{1}}$，得${D}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$．∴$\overrightarrow{O{D}_{1}}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$
设$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{2}k，-\sqrt{2}k，0）$，（k∈[0，1]），则$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AE}$=$（\sqrt{2}k，\sqrt{2}-\sqrt{2}k，0）$
设面OED₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{O{D}_{1}}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OE}=\sqrt{2}kx+（\sqrt{2}-\sqrt{2}k）y=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（k-1，k，1-2k）$
可得面OEA的法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$
∵二面角D₁-OE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，∴|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
得9k²-9k+2=0，解得k=$\frac{1}{3}$，或k=$\frac{2}{3}$，
即$λ=\frac{1}{2}或2$λ时，二面角D₁-OE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法处理动点问题，考查了运算能力，属于中档题．