Question

18．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{b}$为两个互相垂直的单位向量，向量$\overrightarrow c$满足$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-2\overrightarrow c）$=0，则$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{2}$+θ，设|$\overrightarrow{c}$|=x，根据题意可得x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos（θ+φ），利用三角函数的性质即可求出最大值

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{b}$为两个互相垂直的单位向量，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{2}$+θ，设|$\overrightarrow{c}$|=x，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|=xcosθ，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|=xcos（θ+$\frac{π}{2}$）=-xsinθ，
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-2\overrightarrow c）$=0
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+2${\overrightarrow{c}}^{2}$=2x²-2xcosθ+xsinθ=0，
∴x=cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos（θ+φ），其中cosφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴0≤x≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
若设$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{2}$-θ，
同理可得0≤x≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积公式和三角函数的图象和性质，属于中档题