Question

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（a+1），a₂=3，a₃=f（a-1），其中a为实数，f（x）=x²-4x+5．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}单调递增，设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：分析：（Ⅰ）利用等差数列中，a₂是a₁与a₃的等差中项则有2a₂=a₁+a₃，列出关于a的方程，并求出a，再代入等差数列通项公式中求出通项公式a_n；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=2ⁿa_n，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃
又∵a₁=f（a+1）=（a+1）²-4（a+1）+5，a₃=f（a-1）=（a-1）²-4（a-1）+5，a₂=3，
∴（a+1）²-4（a+1）+5+（a-1）²-4（a-1）+5=6，解得a=1或a=3．
当a=1时，a₁=f（2）=1，公差d=2，∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
当a=3时，a₁=f（4）=5，公差d=-2，∴通项公式a_n=a₁+（n-1）d=7-2n．
故当a=1时，通项公式a_n=2n-1，
当a=3时，通项公式a_n=7-2n；
（Ⅱ）∵数列{a_n}单调递增，∴a_n=2n-1，
则b_n=2ⁿa_n=（2n-1）2ⁿ．
设数列{b_n}的前n项和为S_n，
∴Sn=1•21+3•22+…+(2n-1)•2n，
2Sn=1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1，
作差得-Sn=2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n-1)•2n+1
=2+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1=2+2ⁿ⁺²-8-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题主要考查等差数列的等差中项这个性质，以及函数的分类讨论思想，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．