Question

如图，抛物线f（x）=x²（0＜x＜1）在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和直线x=1分别交于点P，Q，直线x=1与x轴的交点为N，设△PQN的面积为g（t）
（Ⅰ）求函数g（t）的解析式；
（Ⅱ）若△PQN的面积g（t）为s时，抛物线f（x）=x²（0＜x＜1）上恰好有两个切点M，求s的取值范围及对应的切点M横坐标t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设M（t，t²），利用导数求出函数在M点处的切线方程，求出P，Q点的坐标，由三角形的面积公式求出△PQN的面积，即可得到g（t）的解析式；
（Ⅱ）由面积等于s整理，得到t³-4t²+4t=4s，令h（t）=t³-4t²+4t，由导数求出h（t）的最大值，再求出h（0），h（1）的值，从而得到△PQN的面积为s时点M恰好有两个时的4s的范围，即可得到s的范围，再求对应的t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（t，t²），
由f（x）=x²（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，
∴过点M的切线PQ的斜率k=2t．
∴切线PQ的方程为y=2tx-t²．
取y=0，得x=

t

2

，
取x=1，得y=2t-t²，
∴P（

t

2

，0）、Q（1，2t-t²），
∴S_△PQN=

1

2

（2t-t²）（1-

t

2

）=

1

4

t（t-2）²，
即有g（t）=

1

4

t（t-2）²；
（Ⅱ）s=

1

4

t（t-2）²，0＜t＜1．
整理得：t³-4t²+4t-4s=0．
即t³-4t²+4t=4s．
令h（t）=t³-4t²+4t，
则h′（t）=3t²-8t+4，
由h′（t）=0，解得t₁=

2

3

，t₂=2（舍）．
∴当t∈（0，

2

3

时，h′（t）＞0，h（t）为增函数．
当t∈（

2

3

，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）为减函数．
∴当t=

2

3

时，h（t）有极大值，也就是（0，1）上的最大值为

32

27

．
又h（0）=0，h（1）=1．
∴要使△PQN的面积为S时点M恰好有两个，
则1＜4s＜

32

27

，即

1

4

＜s＜

8

27

．
∴s的取值范围为（

1

4

，

8

27

）．
令h（t）=1，即有t³-4t²+4t-1=0，
解得t=1或

3- 5

2

或

3+ 5

2

（舍去），
即有t∈（

3- 5

2

，

2

3

）∪（

2

3

，1）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了分离变量法，是中档题．