Question

若函数f（x）=x³-3x-a有3个不同零点，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点可知函数f（x）有两个极值点，且极小值小于0，极大值大于0；利用导数求函数的极值点即可．

解答： 解：由函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；
由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x₁=1，x₂=-1，
又∵x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，
x∈（-1，1），f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2．
∵函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
∴a+2＞0，a-2＜0，
解得，-2＜a＜2．
故实数a的取值范围是-2＜a＜2．
故答案为：-2＜a＜2．

点评：本题考查了导数的综合应用及零点的位置与个数的确定，属于基础题．