Question

设函数f（x）=e^x-ax²-ex-2，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 通过a=1时，化简f（x），求出函数的导数，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）=f'（x），利用新函数的导数h'（x）=e^x-2a，利用（1）当a≤

1

2

，h（x）在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1-e．（2）当a＞

e

2

时，推出h（x）≥-2a．（3）当

1

2

＜a≤

e

2

时，通过导数求解h（x）≥2a-2aln2a-e．

解答： 解：（Ⅰ） a=1时，f（x）=e^x-x²-ex-2，
∵f'（x）=e^x-2x-e，
∴f（1）=e¹-1²-e×1-2=-3，f'（1）=-2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+3=-2（x-1）．
即2x+y+1=0…（6分）
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax²-ex-2，h（x）=f'（x）=e^x-2ax-e，h'（x）=e^x-2a，
（1）当a≤

1

2

时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a≤e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（0）=1-e．
（2）当a＞

e

2

时，∵x∈[0，1]，1≤e^x≤e，∴2a＞e^x恒成立，
即h'（x）=e^x-2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，
所以h（x）≥h（1）=-2a．
（3）当

1

2

＜a≤

e

2

时，h'（x）=e^x-2a=0得x=ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（ln2a）=2a-2aln2a-e…（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用切线方程的求法，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．