Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）当k=2时，求函数f（x）在区间（0，

π

2

）内的值域；
（2）tanα=

1

2

时，f（α）=

3

2

，求k的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角恒等变换把函数关系式，变形成余弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
（2）首先利用tanα=

1

2

，求出tan2α=

4

3

，进一步对函数的关系式进行恒等变换，再利用分类讨论思想求出三角函数的值，最后求出参数的值．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-sin(2x+

π

2

)
=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

2

由于0＜x＜

π

2

所以：

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

则：-

2

2

＜cos(2x+

π

4

)＜

2

2

所以：0＜f（x）＜1 
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）+ksin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

k

2

sin(2x+

π

2

)
=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

k

2

cos2x
=

1

2

(sin2x+cos2x-kcos2x+1)
由于：tanα=

1

2

，
解得：tan2α=

4

3

又f（α）=

3

2

，
所以：

1

2

(sin2α+cos2α-kcos2α+1)=

3

2

即：sin2α+cos2α-kcos2α=2
①当2α的终边落在第一象限时，sin2α=

4

5

，cos2α=

3

5

解得：k=2
②当2α的终边落在第三象限时，sin2α=-

4

5

，cos2α=-

3

5

解得：k=12

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用余弦型函数的定义域求函数的值域，分类讨论思想在做题中得应用，及相关的三角函数求值问题．