Question

已知cos（α-

β

2

）=

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

4

＜α＜

π

2

，-

π

4

＜β＜

π

4

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由条件求得

π

8

＜α-

β

2

＜

5π

8

，-

π

8

＜

α

2

-β＜

π

2

，利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-

β

2

），cos（

α

2

-β）的值，再根据cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，利用两角差的余弦公式计算求得cos

α+β

2

的值，由二倍角的余弦公式即可得解．

解答： 解：∵

π

4

＜α＜

π

2

，-

π

4

＜β＜

π

4

，cos（α-

β

2

）=

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴

π

8

＜α-

β

2

＜

5π

8

，-

π

8

＜

α

2

-β＜

π

2

．
∵sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

，
∴cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）•cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）•sin（

α

2

-β）
=

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

5

3

．
∴cos（α+β）=2cos²

α+β

2

-1=

1

9

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，注意角的范围以及三角函数值的符号，属于中档题．