Question

已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=

sinα

sinβ

，则tanα的最大值是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．

解答： 解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=

sinα

sinβ

，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanβ，
则：2tanαtan²β-tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1-8tan²α≥0，
解得：-

2

4

≤tanα≤

2

4

．
由于：α为锐角，
所以：0＜tanα≤

2

4

，
则tanα的最大值为

2

4

．
故答案为：

2

4

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．