Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F-BCE的体积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；
（2）V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

•S△_BEF•CE=

1

3

•

1

2

•EF•BF•CE，即可求出三棱锥F-BCE的体积．

解答： （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．
∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE，
∵BF?平面ABE，
∴CE⊥BF，
又BF⊥AE且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
∵AC?平面AEC，
∴BF⊥AC…（6分）
（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=

3

，BC=2
又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=

7

，
∴BF•AE=AB•BE，
∴BF=

2 3

7

，∴EF=

3

7

∴V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

•S△_BEF•CE=

1

3

•

1

2

•EF•BF•CE
=

1

3

•

1

2

•

3

7

•

2 3

7

•1=

3

7

…（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F-BCE的体积的计算，属于中档题．