Question

证明不等式1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,推理和证明

分析：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可得出结论．

解答： 证明：（1）当n=1时，不等式左端=1+

1

22

=

5

4

，右端=

3

2

，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＜

2k+1

k+1

，
则n=k+1时，不等式左端=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

，
∵

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

-

2k+3

k+2

=

-1

(k+1)(k+2)2

＜0，
∴

2k+1

k+1

+

1

(k+2)2

＜

2k+3

k+2

，
∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＜

2k+3

k+2

，
∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N^*时，都有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

．

点评：本题考查数学归纳法证明不等式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想．