Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n 且

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

 （n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁及数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{

an

2n+1

}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

（n∈N^*），可得S_n=n（n+1），利用递推式即可得出a_n．
（II）

an

2n+1

=

2n

2n+1

=

n

2n

．利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（I）∵

1

Sn

=

1

n

-

1

n+1

（n∈N^*），
∴S_n=n（n+1），
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
当n=1时，上式也满足．
∴a_n=2n．
（II）

an

2n+1

=

2n

2n+1

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．