Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=

an

2n

，求证：数列{c_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系求出b_n=a_n+1-2a_n的通项公式，结合等比数列的定义即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，根据等差数列的定义进行证明即可．

解答： 证明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，
两式相减，得：S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
即：a_n+2=4a_n+1-4a_n，
变形得：a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n，即b_n+1=2b_n；
∵a₁+a₂=4a₁+2，即a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴数列{b_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列；
（2）∵cn=

an

2n

，
∴cn+1-cn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

bn

2n+1

．
∵bn=3•2n-1代入得：cn+1-cn=

3

4

(n=1，2，…)，
∴数列{c_n}是以

1

2

为首项，

3

4

为公差的等差数列．

点评：本题主要考查等比数列和等差数列的证明，根据等差数列和等比数列的定义是解决本题的关键．