Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，由周期公式即可得解．
（2）由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，从而可求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）_max=3，sin（2x-

π

3

）_min=2．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的求法，三角函数的图象与性质的应用，属于基本知识的考查．