Question

已知函数f（x）=丨x-a丨-2a+1（a∈R），若对任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：对a讨论，当a＞2时，当1≤a≤2时，当a＜1时，分别去绝对值，由单调性求得最小值，再解不等式即可得到所求范围．

解答： 解：当a＞2时，f（x）=丨x-a丨-2a+1=a-x-2a+1=-x-a+1在[1，2]递减，
则f（x）的最小值为f（2）=-1-a，
对任意x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，即有-1-2a≥0，解得a≤-

1

2

，则a∈∅；
当1≤a≤2时，f（x）=丨x-a丨-2a+1在[1，2]的最小值为1-2a，由题意可得1-2a≥0，
解得a≤

1

2

，则a∈∅；
当a＜1时，f（x）=x-a-2a+1=x-3a+1在[1，2]递增，则f（x）的最小值为f（1）=2-3a，
由题意可得2-3a≥0，解得a≤

2

3

，则a≤

2

3

成立．
综上可得，a的取值范围是（-∞，

2

3

]．

点评：本题考查不等式恒成立转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和函数的单调性是解题的关键．