Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₁=

1

2

，2a_n+1+S_n=0，n=1，2，…，则数列{a_n}的通项公式为a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系结合a_n，S_n之间的关系，利用作差法即可得到结论．

解答： 解：由a₁=

1

2

，2a_n+1+S_n=0
得当n≥2时，2a_n+S_n-1=0，
两式相减得2a_n+1+S_n-2a_n-S_n-1=0，
即2a_n+1+a_n-2a_n=0，
则2a_n+1=a_n，
则

an+1

an

=

1

2

，（n≥2）
当n=1时，2a₂+S₁=0，
即a₂=-

S1

2

=-

1

4

，
则

a2

a1

=-

1

2

，不满足

an+1

an

=

1

2

，（n≥2）
当n≥2时，a_n=a₂•(

1

2

)n-2=-

1

4

•(

1

2

)n-2=-（

1

2

）ⁿ，
综上a_n=

1 2 ， n=1 -( 1 2 )n， n≥2

．
故答案为：a_n=

1 2 ， n=1 -( 1 2 )n， n≥2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用作差法是解决本题的关键．