Question

在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=csinC，且△ABC的面积S=

1

4

（b²+c²-a²），试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：由条件利用正弦定理、诱导公式求得sinC=1，可得C=

π

2

，△ABC为直角三角形；再根据△ABC的面积S=

1

4

（b²+c²-a²）=

1

2

ab，求得a=b，可得△ABC为等腰直角三角形．

解答： 解：△ABC中，由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sinC•sinC，
即sin（A+B）=sinC•sinC，故有sinC=sinC•sinC，∴sinC=1，C=

π

2

，∴△ABC为直角三角形，a²+b²=c² ．
再根据△ABC的面积S=

1

4

（b²+c²-a²）=

1

4

•2b²=

1

2

ab，求得a=b，故三角形ABC为等腰三角形．
综上可得，△ABC为等腰直角三角形．

点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式，三角形的面积公式的应用，判断三角形的形状，属于基础题．