Question

如图所示,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.

(1)求r的取值范围;

(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.

Answer 1

解:(1)将y2=x代入(x-4)2+y2=r2,

并化简得x2-7x+16-r2=0,①

E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1,x2,

由此得

解得<r2<16.

又r>0,

所以r的取值范围是（,4）.

(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为:

A(x1,)、B(x1,-)、C(x2,-)、D(x2,).

则直线AC、BD的方程分别为

y-=·(x-x1),

y+=(x-x1),

解得点P的坐标为(,0).

设t=,

由t=及(1)知0<t<.

由于四边形ABCD为等腰梯形,

因而其面积S=(2+2)·|x2-x1|.

则S2=(x1+x2+2)[(x1+x2)2-4x1x2].

将x1+x2=7, =t代入上式,

并令f(t)=S2,

得f(t)=(7+2t)2·(7-2t)（0<t<）.

求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),

令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),

当0<t<时,f′(t)>0;

当<t<时,f′(t)<0.

故当且仅当t=时,f(t)有最大值,

即四边形ABCD的面积最大.

故所求的点P的坐标为（,0）.