Question

已知函数f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx，（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若f（α）=1，α∈（0，

π

2

），求α

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期和最大值．
（2）把（1）中f（x）的解析式代入，根据α的范围求得α的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，函数的最大值为2．
（2）f（α）=2sin（2α+

π

6

）=1，
∴sin（2α+

π

6

）=

1

2

，
∵α∈（0，

π

2

），
∴2α+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴2α+

π

6

=

5π

6

，即α=

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．