Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b≥2，c∈R），若f（x）的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0]．若数列{b_n}满足bn=

f(n)

n3

(n∈N*)，记数列{b_n}的前n项和为T_n，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有T_n＜A？并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出f（x）=x²+2x，bn=

f(n)

n3

=

n2+2n

n3

＞

1

n

，从面得到当n＞2^k时，Tn＞

k

2

+1，由此能求出不存在常数A使T_n＜A对所有n≥2的正整数恒成立．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+bx+c（b≥2，c∈R），
f（x）的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0]．
∴

f(0)=c=0 f(-1)=1-b+c=-1

，解得c=0，b=2，
∴f（x）=x²+2x，…（4分）
∵bn=

f(n)

n3

=

n2+2n

n3

＞

1

n

，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∵

1

3

+

1

4

＞2×

1

4

=

1

2

，

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

＞4×

1

8

=

1

2

，…（8分）

1

2k-1+1

+

1

2k-1+2

+…+

1

2k

＞2k-1×

1

2k

=

1

2

，
故当n＞2^k时，Tn＞

k

2

+1，
因此，对任何常数A，设m是不小于A的最小正整数，
则当n＞2^2m-2时，必有Tn＞

2m-2

2

+1=m＞A．
故不存在常数A使T_n＜A对所有n≥2的正整数恒成立．…（14分）

点评：本题考查满足不等式的正常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．