Question

（本小题满分12分）
如图：在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A₁C₁的中点.
(1) 求证：面MNP∥面A₁C₁B；(2) 求证：MO⊥面A₁C₁.

Answer 1

证明：（1） 连结D₁C， MN为△DD₁C的中位线，∴MN∥D₁C.………………2分


又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B.同理MP∥C₁B.…………………………………………… 4分
而MN与MP相交，MN，MP面MNP，A₁B，
A₁B面A₁C₁B.∴面MNP∥面A₁C₁B.………………6分
证明：（2） 法1，连结C₁M和A₁M，设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O为A₁C₁的中点，
∴A₁C₁⊥MO………………………………………………8分
连结BO和BM，在三角形BMO中，

第20题答案图（1）

经计算知：

∴OB²+MO²=MB²，
即BO⊥MO.而A₁C₁，BO面A₁C₁B，∴MO⊥面A₁C₁B.
…………………………………………………………12分
法2，连结AB₁，B₁D,B₁D₁,则O是B₁D₁的中点,
∵AD⊥面ABB₁A₁,A₁B面ABB₁A₁,∴AD⊥A₁B.
又A₁B⊥A₁B,AD和AB₁是面AB₁D内两条相交直线,  
∴A₁B⊥面AB₁D,…………………………………………8分
又B₁D面AB₁D,∴A₁B⊥B₁D.同理:BC₁⊥B₁D.                      第20题答案图（2）
又A₁B和BC₁是面A₁BC₁内两条相交直线,∴B₁D⊥面A₁BC₁.………………………10分
∵OM是△D₁B₁D的中位线,∴OM∥B₁D.∴OM⊥面A₁BC₁.…………………………12分

略