Question

（理）已知函数f（x）的定义域为{1，2，3}，值域为集合{1，2，3，4}的非空真子集，设点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为M，且

MA

+

MC

=λ

MB

（λ∈R），满足条件的函数f（x）有

 

个．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：综合题,平面向量及应用

分析：由

MA

+

MC

=λ

MB

，可得B在AC的垂直平分线上，即BA=BC，故（f（2）-f（1））²=（f（2）-f（3））²，即f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2），分类讨论，可得结论．

解答： 解：∵

MA

+

MC

=λ

MB

，
∴B在AC的垂直平分线上
∴BA=BC，
∴（f（2）-f（1））²=（f（2）-f（3））²，
即f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2）
∴根据题意可知，
△ABC满足条件的三点A、B、C的情况可分为两类：
①f（1）=f（3）时，f（1）=f（3）有4种选择，f（2）有3种选择，
∴此类情况有4×3=12种；
②f（1）+f（3）=2f（2）时，即f（1），f（2），f（3）成等差数列时，
有如下情况，1、2、3；3、2、1；2、3、4；4、3、2，共4种，均不满足题意
∴满足条件的函数f（x）有12个
故答案为：12．

点评：本题考查向量的加减法运算和数量积运算，计数原理的等知识的综合应用，以及分情况讨论的数学思想，属于难题．