Question

18．已知关于x的方程（2p²+1）x²-5px-2=0（p∈R）有两个实根
（1）当p=1时，在△ABC中，角A，B，C为三角形内角，tanA，tanB是方程的两个根．
①求角C．②AC=3，BC=$\sqrt{2}$，D在AB上，AD=DC，求CD的长．
（2）M（x₁，px₁+1），N（x₂，px₂+1），T（0，1）．且x₁，x₂为方程的两个实根．设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当p=1时，求出一元二次方程，根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行求解即可；
（2）根据向量数量积的定义分别求出$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$和$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的表达式，建立方程进行求解判断即可．

解答 解：（1）当p=1时，方程等价为3x²-5x-2=0，
∵tanA，tanB是方程的两个根，
∴tanA+tanB=$\frac{5}{3}$，tanAtanB=-$\frac{2}{3}$，
则tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{5}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=-1，则C=$\frac{3π}{4}$．
（2）AB²=9+2-2×$3\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=17，
则AB=$\sqrt{17}$，
由正弦定理得$\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{\sqrt{17}}{sin\frac{3π}{4}}$，得sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，cosA=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
设CD=AD=t，则t²=9+t²-2×3t•$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，得t=$\frac{3\sqrt{17}}{8}$．
（2）$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+p²x₁x₂+p（x₁+x₂）+1，
$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=x₁x₂+p²x₁x₂，
∵x₁+x₂=$\frac{5p}{2{p}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{2}{2{p}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（1+λ）（1+p²）x₁x₂+p（x₁+x₂）+1
=（1+λ）（1+p²）（-$\frac{2}{2{p}^{2}+1}$）+p•$\frac{5p}{2{p}^{2}+1}$+1
=$\frac{5{p}^{2}-1-2λ-2λ{p}^{2}}{2{p}^{2}+1}$=$\frac{（5-2λ）{p}^{2}-（2λ+1）}{2{p}^{2}+1}$
=$\frac{（\frac{5}{2}-λ）（2{p}^{2}+1）-λ-\frac{7}{2}}{2{p}^{2}+1}$=$\frac{5}{2}$-λ-$\frac{λ+\frac{7}{2}}{2{p}^{2}+1}$，
则当λ=-$\frac{7}{2}$时，$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$+λ$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=6为常数．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用以及一元二次方程根与系数的关系，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．