Question

已知函数f（x）=（x-2）e^x和g（x）=ax³+bx²+cx+d．
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若b=-3，c=0，d=1时，g（x）在x∈（0，+∞）内只有一个零点，求a的取值范围；
（3）若b=0，c=-1，d=-2，当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，再由斜截式方程，即可得到切线方程；
（2）求出g（x）的导数，对a讨论，a≤0，a＞0，结合函数的单调性，即可求得a的范围；
（3）构造h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，转化h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对a≤

1

6

时，a＞

1

6

时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x，
则f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为（0-1）e⁰=-1，
切点为（0，-2），则切线方程为y=-x-2；
（2）g（x）=ax³-3x²+1，g′（x）=3ax²-6x，
当a≤0时，g（x）在x＞0，g′（x）＜0，则g（x）递减，则g（x）在x∈（0，+∞）内只有一个零点；
当a＞0时，g′（x）＞0，解得，x＞

2

a

，g′（x）＜0，解得0＜x＜

2

a

，
则g（

2

a

）取极小值，由于g（0）=1，则只要g（

2

a

）=0，即有g（x）在x∈（0，+∞）内只有一个零点．
由g（

2

a

）=a•

8

a3

-

12

a2

+1=0，解得a=2（-2舍去）．
则a的取值范围是（-∞，0]∪{2}；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，
依题可知h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，
h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，令φ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e^x-6a），
①当6a≤1，即a≤

1

6

时，
因为x≥0，e^x≥1，所以φ'（x）=x（e^x-6a）≥0
所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0
故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；
②当6a＞1，即a＞

1

6

时，
当x∈（0，ln（6a）），φ'（x）=x（e^x-6a）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6a）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6a））上单调递减，
又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6a））时h（x）＜0，
这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．
综上a≤

1

6

，即a的最大值是

1

6

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．