Question

4．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b}满足$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，求数列{b_n}的通项公式：，
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下．设c_n=2ⁿ+λb_n．问是否存在实数λ使得数列{c_n}（n∈N^*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出等比数列${a}_{1}，{a}_{1}q，{a}_{1}{q}^{2}，…$，其中a₁≠0，q≠0．由已知列式求得首项和公比，则通项公式可求；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，代入$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，得$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，两式作差得${b}_{n}=（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$（n≥2）．求出首项，可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）由c_n=2ⁿ+λb_n．可得当n≥3时，${c}_{n}={2}^{n}+（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）λ$，${c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n-1}（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）λ$，依据题意，有${c}_{n}-{c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n}λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0．
即（-1）ⁿλ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．然后分n为大于或等于4的偶数和n为大于或等于3的奇数求得λ的范围，取交集得答案．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列为：${a}_{1}，{a}_{1}q，{a}_{1}{q}^{2}，…$，其中a₁≠0，q≠0．
由题意知：${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28$，①
${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）$，②
联立①②解得q=2或q=$\frac{1}{2}$，
∵等比数列{a_n}单调递增，
∴a₁=2，q=2，则${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）由（1）可知，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，
得$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{b}_{1}}{2+1}$-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1}$-…+（-1）ⁿ$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$，
两式作差得：$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1}$，
即${b}_{n}=（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）$（n≥2）．
当n=1时，${a}_{1}=\frac{{b}_{1}}{2+1}$，得${b}_{1}=\frac{3}{2}$．
∴${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）c_n=2ⁿ+λb_n．
∴当n≥3时，${c}_{n}={2}^{n}+（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1）λ$，${c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n-1}（\frac{1}{{2}^{n-1}}+1）λ$，
依据题意，有${c}_{n}-{c}_{n-1}={2}^{n-1}+（-1）^{n}λ（2+\frac{3}{{2}^{n}}）$＞0．
即（-1）ⁿλ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$．
①当n为大于或等于4的偶数时，有λ＞$-\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，
又$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}=-\frac{1}{\frac{3}{{2}^{2n-1}}+\frac{1}{{2}^{n-2}}}$随n增大而增大，
则当n=4时，$（\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}）_{min}=\frac{128}{35}$，故λ的取值范围为λ＞$-\frac{128}{35}$；
②当n为大于或等于3的奇数时，有λ＜$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，且仅当n=3时，
$（\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}）_{min}=\frac{32}{19}$，故λ的取值范围为λ＜$\frac{32}{19}$．
又当n=2时，由${c}_{n}-{c}_{n-1}={c}_{2}-{c}_{1}=（{2}^{2}+\frac{5}{4}λ）-（2+\frac{3}{2}λ）$＞0，解得λ＜8．
综上可得，所求λ的取值范围是{λ|$-\frac{128}{35}＜λ＜\frac{32}{19}$}．

点评 本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列通项公式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．