Question

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝2，E是棱CD上的一点．

(1)求证：AD₁⊥平面A₁B₁D；

(2)求证：B₁E⊥AD₁；

(3)若E是棱CD的中点，在棱AA₁上是否存在点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

[解析]　(1)证明：在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

因为A₁B₁⊥平面A₁D₁DA，

所以A₁B₁⊥AD₁.

在矩形A₁D₁DA中，因为AA₁＝AD＝2，所以AD₁⊥A₁D.

所以AD₁⊥平面A₁B₁D.

(2)证明：因为E∈CD，

所以B₁E⊂平面A₁B₁CD，

由(1)可知，AD₁⊥平面A₁B₁CD，

所以B₁E⊥AD₁.

(3)解：当点P是棱AA₁的中点时，有DP∥平面B₁AE.

理由如下：

在AB₁上取中点M，连接PM，ME.

因为P是棱AA₁的中点，M是AB₁的中点，

所以PM∥A₁B₁，且PM＝A₁B₁.

又DE∥A₁B₁，且DE＝A₁B₁，

所以PM∥DE，且PM＝DE，

所以四边形PMED是平行四边形，所以DP∥ME.

又DP⊄平面B₁AE，ME⊂平面B₁AE，

所以DP∥平面B₁AE.此时，AP＝A₁A＝1.