Question

14．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
（1）求$f（\frac{1}{2}）$和$f（\frac{1}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）（n∈{N^*}）$的值；
（2）数列{a_n}满足${a_n}=f（0）+f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）+f（1）$，（n∈N^*），求证：{a_n}是等差数列．
（3）在（2）的情况下，令b_n=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若a＞1，对任意n≥2，不等式T_2n-T_n＞$\frac{7}{12}（1+{log_{a+1}}x-{log_a}x）$恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系，利用赋值法进行求解．
（2）令x=$\frac{k}{n}$，则f（$\frac{k}{n}$）+f（$\frac{n-k}{n}$）=2，利用倒序相加法进行求和，结合等差数列的定义进行证明．
（3）求出数列{b_n}的通项公式，根据数列的递推关系进行转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
∴当x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）+f（1-$\frac{1}{2}$）=2=2f（$\frac{1}{2}$）．
则f（$\frac{1}{2}$）=1，
令x=$\frac{1}{n}$，则f（$\frac{1}{n}$）+f（1-$\frac{1}{n}$）=2，即f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）=2，
（2）证明：f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．
则令x=$\frac{k}{n}$，则f（$\frac{k}{n}$）+f（$\frac{n-k}{n}$）=2，
∵${a_n}=f（0）+f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）+f（1）$，
∴a_n=f（1）+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）+f（0），
则两式相加得2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+[f（1）+f（0）]=2（n+1），
则a_n=n+1，
则a_n+1-a_n=n+2-（n+1）=1，为常数，
∴{a_n}是等差数列．
（3）b_n=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$=$\frac{1}{n}$，则易知T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$=f（n），
则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-…-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$＞0
所以f（n）单调递增．
所以T_2n-T_n≥f（2）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
故$\frac{7}{12}$＞$\frac{7}{12}（1+{log_{a+1}}x-{log_a}x）$
所以log_a+1x＜log_ax，
于是$\frac{lgx}{lg（a+1）}$＜$\frac{lgx}{lga}$，（a＞0，lga＞0）恒成立
于是x＞1．

点评 本题主要考查抽象函数以及数列和不等式的综合以及不等式恒成立问题，利用赋值法以及转化法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．