Question

【题目】已知函数，其中且.

（1）若函数是奇函数，试证明：对任意的，恒有；

（2）若对于，函数在区间上的最大值是3，试求实数的值；

（3）设且，问：是否存在实数，使得对任意的，都有？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）由函数是奇函数，可得，代入计算即可证明；
（2），，对分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出；
（3）假设存在实数，使得对任意的，都有，则等价于对任意的，的最小值大于的最大值．令，，可得其最大值．于是问题等价于，的最小值大于1，再利用复合函数的单调性即可得出．

（1）证明：因为是定义域内的奇函数，

所以对任意的，恒有

由，得

对任意的，恒有

（2）

当时，

在区间是增函数，

所以.

当时

在区间是减函数，无解

综上所述：

（3）所以

又因为，所以，又因为，所以

因为对任意的，都有

所以的最小值大于的最大值

递减，所以的最小值为

令，因为，所以递增，

所以的最大值为

所以，解得.

综上所述：满足题设的实数的取值范围是