Question

2．锐角三角形ABC的三内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，且a，b，c满足a²-b²+c²-ac=0
（1）求内角B的大小；
（2）若b=1，求三角形ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由a²-b²+c²-ac=0可得a²+c²-b²=ac，将其代入余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$中，可得cosB=$\frac{1}{2}$，进而可得B的值，即可得答案．
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，实现了边向角的转变，进而转化成三角函数求值域问题求解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）根据题意，a²-b²+c²-ac=0，则a²+c²-b²=ac，
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
则∠B=60°；…（6分）
（2）∵b=1，∠B=60°，可得：A+C=120°，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinA}{3}$，
同理c=$\frac{csinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，
∴△ABC周长=a+b+c
=1+$\frac{2\sqrt{3}sinA}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（120°-A）]
=1+2sin（A+30°），…（12分）
∵0＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，sin（A+30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴△ABC周长的取值范围为（2，3]．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的运用，关键是牢记余弦定理的公式，综合考查了三角函数以及解三角形的有关知识，考查了学生的分析能力和运算能力，属于中档题．