Question

7．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$=0，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量的运算法则将已知等式化简得到$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，得到AB为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得A 的值，利用两个向量的数量积的定义求得答案．

解答 解：∵2$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，则O，B，A共线，
∴AB为圆的直径，则AC⊥BC，
又△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，
∴∠A=30°，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cos30°=$\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$．
故选：C．

点评 本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识，求出△ABC为直角三角形及三边长是解题的关键，是中档题．