Question

MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

3

．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：取CD中点O，连OB，OM，以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出O，C，M，B，A的坐标
（1）求出平面MBC的法向量，利用空间距离公式求解即可．
（2）求出设平面ACM的法向量，平面BCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答： 解：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD．

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．
OB=OM=

3

，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，

3

），B（0，-

3

，0），A（0，-

3

，2

3

），
（1）设

n

=(x，y，z)是平面MBC的法向量，则

BC

=(1，

3

，0)，

BM

=(0，

3

，

3

)，由

n

⊥

BC

得x+

3

y=0；由

n

⊥

BM

得

3

y+

3

z=0；取

n

=(

3

，-1，1)，

BA

=(0，0，2

3

)，则距离d=

| BA • n |

| n |

=

2 15

5

（2）

CM

=(-1，0，

3

)，

CA

=(-1，-

3

，2

3

)．
z设平面ACM的法向量为

n1

=（x，y，z），
由

n1 ⊥ CM n1 ⊥ CA

得

-x+ 3 z=0 -x- 3 y+2 3 z=0

．解得x=

3

z，y=z，取

n1

=(

3

，1，1)．
又平面BCD的法向量为

n

=(0，0，1)，则cos＜

n1

，

n

＞=

n1 • n

| n1 |•| n |

=

1

5

设所求二面角为θ，则sinθ=

1-( 1 5 )2

=

2 5

5

．

点评：本题考查空间向量的应用，点到平面的距离的解法，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．