Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x-1，二次函数g（x）=ax²-x-1
（1）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（2）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最大值时，记g（x）的最大值为h（a），求函数h（a）的解析式；
（3）若函数f（x）与g（x）在区间（a-2，a）内均为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，由导数的正负确定函数的单调性；
（2）由二次函数g（x）=ax²-x-1有最大值可得a＜0，再由函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点可得-1≤a≤1，从而可得-1≤a＜0，从而g（x）的最大值为h（a）；
（3）分a正负讨论函数的单调区间，从而得到不等式组，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)，
∵a＜0，
∴

a

3

＜-a，
故函数f（x）在区间(-∞，

a

3

)，（-a，+∞）上单调递增，在(

a

3

，-a)上单调递减．
（2）∵二次函数g（x）=ax²-x-1有最大值，
∴a＜0．
由f（x）=g（x）得x（x²-a²+1）=0，
∵函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点，
∴-a²+1≥0，
∴-1≤a≤1．
又∵a＜0，
∴-1≤a＜0．
又g(x)=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

-1，
∴h(a)=-

1

4a

-1，-1≤a＜0．
（3）当a＜0时，函数f（x）在区间(-∞，

a

3

)、（-a，+∞）上单调递增，函数g（x）在区间(-∞，

1

2a

)上单调递增．
∴

a＜0 a≤ a 3 a≤ 1 2a

，
解得a≤-

2

2

．
当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-a）、(

a

3

，+∞)上单调递增，函数g（x）在区间(

1

2a

，+∞)上单调递增．
∴

a＞0 a-2≥ a 3 a-2≥ 1 2a

，解得a≥3．
综上所述，实数a的取值范围是(-∞，-

2

2

]∪[3，+∞)．

点评：本题考查了函数的导数的综合应用，属于难题．