Question

【题目】已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点.

（1）求抛物线的焦点坐标；

（2）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；

（3）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2.

【解析】

（1）抛物线，即，可求出焦点坐标，即可求得答案；

（2）利用抛物线的定义把焦点的距离为转化为到准线的距离为，即可求得答案；

（3）是以为直角顶点的直角三角形即是，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到两点的坐标进而求得以及的坐标，代入是，即可求得答案.

（1）抛物线，

即

∴抛物线的焦点为

（2）∵抛物线上有一点到焦点的距离为，

（3）联立方程消去

可得，

设

则①

是线段的中点，

,即

得

若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则是

即

结合①化简得

即

或 (舍去)，经检验满足判别式大于0

存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形．