Question

若点O和点F（2，0）分别是双曲线x²-

y2

a2

=1（a＞0）的中心和右焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则

OP

•

FP

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可求得a²=3，从而化出双曲线方程为x²-

y2

3

=1，设点P（

1+ y2 3

，y），从而表达出

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²，利用换元法求值域．

解答： 解：由题意，1+a²=4，
解得a²=3，
则双曲线方程为x²-

y2

3

=1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴设点P（

1+ y2 3

，y），
则

OP

•

FP

=（

1+ y2 3

，y）•（

1+ y2 3

-2，y）
=1+

y2

3

-2

1+ y2 3

+y²
令

1+ y2 3

=t，t≥1；y²=3t²-3；
故

OP

•

FP

=4t²-2t-3，
其在[1，+∞）上单调递增，
故

OP

•

FP

≥4-2-3=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了双曲线的定义及换元法求函数的值域，属于难题．