Question

n个人互相传球，由甲开始发球，经过m次传球后，球仍回到甲的手中，一共有多少种传法？（m≥2，n≥3）．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：排列组合

分析：传球问题核心公式：n传m球，记X=

(n-1)m

n

，然后利用等比数列求的答案．

解答： 解：设k（k∈N^*）次传给甲的方式有a_k种，得a_k+1=（n-1）k-a_k，
令b_k=

ak

(n-1)

，得（n-1）b_k+1+b_k=1，
变形得，b_k+1-

1

n

=-

1

n-1

（b_k-

1

n

），
{b_k-

1

n

}是公比为-

1

n-1

的等比数列，
∴b_k-

1

n

=（b1-

1

n

）(-

1

n-1

)k-1，b1=

a1

n-1

=0，
∴b_k-

1

n

=（-

1

n

）(-

1

n-1

)k-1，
∴b_k=

n-1

n

[（n-1）^k-1-（-1）^k-1]，
∵ak=

(n-1)k

n

[1-(-

1

n-1

)k-1]，
当k=m时，am=

n-1

n

[（n-1）^m-1-（-1）^m-1]
∴一共有

n-1

n

[（n-1）^m-1-（-1）^m-1]种传法．

点评：此题考查了排列组合，传球不能传给自己，但两者之间可以互传．要能够理解第m-1次不可以传给甲．此题若用树状图分析更好，但是人数和传球次数较多，树状图很难完成．