Question

11．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）化简f（x）的解析式，并写出f（x）的最小正周期；
（2）求当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式为f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由三角函数的周期性及其求法可求函数的最小正周期；
（2）根据三角函数的性质求得函数的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}$cos²-$\frac{3}{4}$sin²x-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1+cos2x}{8}$-$\frac{3-3cos2x}{8}$-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
函数f（x）的最小正周期为T=π，
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，$cos（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
所以当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的值域为$[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．