Question

设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）-x＜0的解集为（x₁，x₂）其中x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

（1）当x∈（x₁，x₂）时，求证x₁＜f（x）＜x；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，求证：x₀＜

x1

2

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可以构造一个函数，然后利用做差的方法进行，然后判断差的符号即可；
（2）想办法将对称轴用x₁，x₂表示出来，然后与

x1

2

比较即可，注意性质的运用．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）-x，
因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且a＞0，
当x∈（x₁，x₂）时，由x₁＜x＜x₂得（x-x₁）（x-x₂）＜0，又a＞0，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＜0，即f（x）＜x．
而x₁-f（x）=x₁-[x+F（x）]=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]．
因为0＜x1＜x＜x2＜

1

a

，所以x₁-x＜0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0
得x-f（x）＜0，由此得x₁＜f（x）＜x．
（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x-x₁）（x-x₂）=ax²+[1-a（x₁+x₂）]x+ax₁x₂
x₀=-

b

2a

=

a(x1+x2)-1

2a

=

ax2-1

2a

+

x1

2

，
因为ax₂＜1，所以

ax2-1

2a

+

x1

2

＜

x1

2

，即x0＜

x1

2

．

点评：本题考查了二次函数与二次不等式、方程的根之间的关系，要注意将函数的性质与方程的根结合函数的图象有机结合起来．