Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（1）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值及此时的x的值；
（2）若f（α）=

1

2

，求sin（

π

6

-4α）．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

6

，

π

4

]结合三角函数的最值可得；
（2）由题意可得sin（2α+

π

6

）=

1

4

，由诱导公式和二倍角公式可得sin（

π

6

-4α）=1-2sin²（2α+

π

6

），代值计算可得．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴当x=-

π

6

时，f（x）取最小值-1，
当x=

π

6

时，f（x）取最大值2；
（2）由题意f（α）=2sin（2α+

π

6

）=

1

2

，
∴sin（2α+

π

6

）=

1

4

，
∴sin（

π

6

-4α）=sin[

π

2

-（4α+

π

3

）]
=cos（4α+

π

3

）=1-2sin²（2α+

π

6

）=

7

8

点评：本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式的应用和诱导公式，属基础题．