Question

12．在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB=1，若△ABC最大边的长为$\sqrt{6}$，则其外接圆的半径为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正切公式求得 tan（A+B）=1，可得A+B的值，从而求得C的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径．

解答 解：△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，
∴tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanAtanB=1，
∴tan（A+B）（1-tanAtanB）=1-tanAtanB，
∴tan（A+B）=1，
∴A+B=45°，
∴C=135°；
∴△ABC最大边的长为c=$\sqrt{6}$，
由正弦定理得，2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{6}}{sin135°}$=$\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴其外接圆的半径为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式与正弦定理的应用问题，属于基础题目．