Question

16．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;，\;b＞0}）$的左、右焦点，P为双曲线上的一点且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． $[{\sqrt{3}\;，\;+∞}）$
• C． $[{\sqrt{2}\;，\;+∞}）$
• D． $[{\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}\;，\;+∞}）$

Answer 1

分析 设P点的横坐标为x，根据$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，P在双曲线左支上一点（|x|≥a），利用双曲线的第二定义，以及余弦定理，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答 解：设P点的横坐标为x，P在双曲线上，（|x|≥a），|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-\frac{1}{2}{c^2}$，即：|PF₁||PF₂|cos＜$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＞=-$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
：|PF₁||PF₂|$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|{\overrightarrow{P{F}_{2}}|}^{2}-4{c}^{2}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=-$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
可得：|PF₁|²+|PF₂|²-4c²=-c²，
可得2a²+2e²x²=3c²，2+2e²（$\frac{x}{a}$）²=3e²，$（\frac{x}{a}）^{2}≥1$，
可得2+2e²≤3e²，
∴e$≥\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．