Question

14．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinAsin（C+$\frac{π}{6}$）=sinB+sinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2sinAsin（C+$\frac{π}{6}$）=sinB+sinC．得$\sqrt{3}sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）\\;+sinC$
⇒sinC（$\sqrt{3}$sinA-cosA）=sinC，即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得A；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$两边平方即可．

解答 解：（Ⅰ）由2sinAsin（C+$\frac{π}{6}$）=sinB+sinC．
得$\sqrt{3}sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）\\;+sinC$
⇒sinC（$\sqrt{3}$sinA-cosA）=sinC，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，⇒sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
由于0＜A＜π，∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$A=\frac{π}{3}$
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$（1+4+2×1×2×$cos\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{4}$
∴$AD=\frac{\sqrt{7}}{2}$

点评 本题考查了三角恒等变形，向量的数量积运算，属于中档题．