Question

3．（1）证明：sin3x=3sinx-4sin³x；
（2）试结合（1）的结论，求sin18°的值．
（可能用到的公式：4t³-2t²-3t+1=（t-1）（4t²+2t-1））

Answer 1

分析 （1）由sin3x=sin（2x+x），展开两角和的正弦，再代入二倍角公式化简得答案；
（2）由（1）可得3sin18°-4sin³18°=sin54°=cos36°=1-2sin²18°，即4sin³18°-2sin²18°-3sin18°+1=0，
然后利用因式分解法求得sin18°的值．

解答 （1）证明：sin3x=sin（2x+x）=sin2xcosx+cos2xsinx
=2sinxcosx•cosx+（1-2sin²x）sinx
=2sinx•cos²x+sinx-2sin³x
=2sinx（1-sin²x）+sinx-2sin³x
=3sinx-4sin³x；
（2）解：由（1）知，3sin18°-4sin³18°=sin（3×18°）=sin54°=cos36°=1-2sin²18°，
∴4sin³18°-2sin²18°-3sin18°+1=0，
∴（sin18°-1）（4sin²18°+2sin18°-1）=0，
即4sin²18°+2sin18°-1=0，
解得sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$或sin18°=$\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$（舍）．
∴sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了二倍角公式及两角和正弦公式的应用，训练了利用因式分解法求解高次方程，是中档题．