Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点（1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B为椭圆C的长轴上的两端点，曲线C上动点P（异于A，B）的点，求K_AP•K_BP的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率求得a=2b，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）根据斜率公式，求得k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，由y²=4（$\frac{16-{x}^{2}}{16}$），即可取得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2b，
将（1，$\frac{\sqrt{15}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{1}{4{b}^{2}}+\frac{15}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=4，则a²=16，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设动点P（x，y），A（-4，0），则k_AP=$\frac{y}{x+4}$，k_BP=$\frac{y}{x-4}$，
∴k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，
由点P在椭圆上，则y²=4（$\frac{16-{x}^{2}}{16}$），
即k_AP•k_BP=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=$\frac{1}{{x}^{2}-16}$•4•$\frac{16-{x}^{2}}{16}$=-$\frac{1}{4}$，
∴k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．